Calculadora de matriz inversa paso a paso – determinante y matriz adjunta

¿Qué es la matriz inversa?

La matriz inversa de una matriz cuadrada A es otra matriz del mismo tamaño, escrita A⁻¹, que al multiplicarse por A da la matriz identidad, con unos en la diagonal y ceros fuera. Esta calculadora de matriz inversa te da la inversa de matrices de 2x2 a 5x5, con su determinante y su matriz adjunta.

El método de Gauss-Jordan paso a paso

El método de Gauss-Jordan calcula la inversa sin usar determinantes ni adjuntas. Se escribe la matriz A junto a la identidad, formando [A | I], y se aplican operaciones elementales por filas hasta convertir la parte izquierda en la identidad. Las mismas operaciones transforman la parte derecha en la inversa.

Las operaciones permitidas son tres: intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero y sumar a una fila un múltiplo de otra. Se avanza columna a columna: se busca el pivote mayor, se convierte en 1 y se usa para anular el resto de la columna. Si no queda ningún pivote distinto de cero, la matriz es singular y no tiene inversa.

El determinante y la matriz adjunta

Antes de calcular nada, el determinante ya dice si la inversa existe: una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Si es cero, la matriz es singular y el sistema asociado no tiene solución única. Por eso la calculadora muestra el determinante junto a la inversa.

Hay otra forma de escribir la inversa, con la matriz adjunta: A⁻¹ es igual a la adjunta dividida entre el determinante, como muestra la calculadora de divisiones. La adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores. Para una matriz 2x2 el cálculo es inmediato: si A tiene filas [a, b] y [c, d], su inversa es 1 entre (ad − bc) por [d, −b; −c, a].

Y si tu problema es una sola ecuación con una incógnita al cuadrado, la calculadora de ecuaciones de segundo grado la resuelve con la fórmula general y el discriminante.

Ejemplo: la inversa de [[4, 7], [2, 6]]

Ejemplo con la matriz que trae la calculadora al abrirla: primera fila 4 y 7, segunda fila 2 y 6. Primero el determinante: 4 por 6 menos 7 por 2, es decir, 24 − 14 = 10. Como no es cero, la matriz tiene inversa.

Con la fórmula de la matriz 2x2, la inversa es 1 entre 10 por [6, −7; −2, 4], es decir, [[0,6, −0,7], [−0,2, 0,4]]. Comprueba: 4 por 0,6 más 7 por (−0,2) es 1, y 4 por (−0,7) más 7 por 0,4 es 0.